Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{2}$，-cosx），$\overrightarrow$=（sinx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則函數f（x）=$\vec a•\vec b$的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據向量數量積的公式先求出函數f（x）的表達式，結合兩角和差的正弦公式轉化為正弦函數，利用正弦函數的性質進行求解即可．

解答 解：f（x）=$\vec a•\vec b$=（$\frac{3}{2}$，-cosx）•（sinx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{3}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\sqrt{3}$（sinx$•\frac{\sqrt{3}}{2}$-cosx$•\frac{1}{2}$）
=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴當x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時，函數f（x）取得最大值，
此時最大值為$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查函數最值的求解，根據向量數量積的公式求出函數的表達式以及利用三角函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．