Question

11．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局比賽，若甲勝得2分，乙得1分；若乙勝得2分，甲得0分；比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分以上（包含2分）或打滿5局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為$\frac{2}{3}$，乙在每局中獲勝的概率為$\frac{1}{3}$，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)一共打ξ局．
（1）求比賽結(jié)束時(shí)甲得分高于乙得分的概率；
（2）列出隨機(jī)變量ξ的分布列，求ξ的期望值Eξ．

Answer 1

分析 由題意比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，所以隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件的概率，在有離散型隨機(jī)的期望公式求出期望．

解答 解：（1）共出現(xiàn)的比分有2：0，3：1，3：2；
若甲勝，則甲得分一定高于乙得分，設(shè)事件A為甲2：0勝，事件B為甲3：1勝，事件C為甲3：2勝，其概率分別是P（A）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$．
P（B）=${C}_{2}^{1}\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{16}{81}$
P（C）=4×$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{32}{243}$，
∴比賽結(jié)束時(shí)甲得分高于乙得分的概率P=$\frac{4}{9}+\frac{16}{81}+\frac{32}{243}=\frac{107}{243}$
（2）隨機(jī)變量ξ可能取得值為2，4，5．
P（ξ=2）=$\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$
P（ξ=4）=$\frac{16}{81}+\frac{4}{81}=\frac{20}{81}$
P（ξ=5）=$\frac{32}{243}+\frac{16}{243}=\frac{16}{81}$
隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	2	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{16}{81}$

Eξ=2×$\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+5×\frac{16}{81}=\frac{250}{81}$

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生對(duì)于題意的準(zhǔn)確理解，以及對(duì)于隨機(jī)變量的定義的理解及獨(dú)立事件及其公式的準(zhǔn)確理解及應(yīng)用，此外還考查了期望的定義．屬于中檔題型．