Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）解不等式f（x）≥1；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值為m，且a+b+c=m，a，b，c均為正實數(shù)，求$\sqrt{a+c}$+$\sqrt{b+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）≥1的解集．
（2）由（1）可得f（x）的最大值為m=3，即a+b+c=3，再根據(jù)柯西不等式求得$\sqrt{a+c}$+$\sqrt{b+1}$的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到2對應(yīng)點的距離減去它到5對應(yīng)點的距離，
而4對應(yīng)點到2對應(yīng)點的距離減去它到5對應(yīng)點的距離正好等于1，
故不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥4}．
（2）由（1）可得f（x）的最大值為m=3，故有a+b+c=m=3，
根據(jù)柯西不等式可得（a+c+b+1）（1+1）≥${（\sqrt{a+c}+\sqrt{b+1}）}^{2}$，即 4×2≥${（\sqrt{a+c}+\sqrt{b+1}）}^{2}$，
∴2$\sqrt{2}$≥$\sqrt{a+c}$+$\sqrt{b+1}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a+c}{1}$=$\frac{b+1}{1}$，即a+c=b+1時，取等號，
故$\sqrt{a+c}$+$\sqrt{b+1}$的最大值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．