Question

15．已知拋物線y=x²-1上的一定點B（-1，0）和兩個動點P、Q，當BP⊥PQ時，點Q的橫坐標的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-3]∪[1，+∞）
• B． [-3，1]
• C． （-∞，-3]∪[1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先設P，Q的坐標，利用BP⊥PQ，可得斜率之積為-1，從而可得方程，再利用方程根的判別式大于等于0，注意檢驗t=-1的情況，即可求得Q點的橫坐標的取值范圍．

解答 解：設P（t，t²-1），Q（s，s²-1）
∵BP⊥PQ，
∴$\frac{{t}^{2}-1}{t+1}$•$\frac{（{s}^{2}-1）-（{t}^{2}-1）}{s-t}$=-1，
即t²+（s-1）t-s+1=0，
∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個不同的點，
∴必須有△=（s-1）²+4（s-1）≥0．
即s²+2s-3≥0，
解得s≤-3或s≥1．
由t=-1，代入t²+（s-1）t-s+1=0，可得s=$\frac{3}{2}$，
此時P，B重合，則有s≠$\frac{3}{2}$．
∴Q點的橫坐標的取值范圍是 （-∞，-3]∪[1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）．
故選C．

點評 本題重點考查取值范圍問題，解題的關鍵是利用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1構建方程，再利用方程根的判別式大于等于0進行求解．