Question

8．已知矩形ABCD，AD=$\sqrt{2}$AB，沿直線BD將△ABD折成△A′BD，使點(diǎn)A′在平面BCD上的射影在△BCD內(nèi)（不含邊界）．設(shè)二面角A′-BD-C的大小為θ，直線A′D，A′C與平面BCD所成的角分別為α，β，則（　�。�

• A． α＜θ＜β
• B． β＜θ＜α
• C． β＜α＜θ
• D． α＜β＜θ

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由兩種特殊位置得到點(diǎn)A′在平面BCD上的射影的情況，由線段的長度關(guān)系可得三個(gè)角的正弦的大小，則答案可求．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴BA′⊥A′D，
當(dāng)A′點(diǎn)在底面上的射影O落在BC上時(shí)，
有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，則DC⊥BA′，
∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，設(shè)BA′=1，則BC=$\sqrt{2}$，∴A′C=1，說明O為BC的中點(diǎn)；
當(dāng)A′點(diǎn)在底面上的射影E落在BD上時(shí)，可知A′E⊥BD，
設(shè)BA′=1，則$A′D=\sqrt{2}$，∴A′E=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
要使點(diǎn)A′在平面BCD上的射影F在△BCD內(nèi)（不含邊界），則點(diǎn)A′的射影F落在線段OE上（不含端點(diǎn)）．
可知∠A′EF為二面角A′-BD-C的平面角θ，直線A′D與平面BCD所成的角為∠A′DF=α，
直線A′C與平面BCD所成的角為∠A′CF=β，
可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且$A′E=\frac{\sqrt{6}}{3}＜1$，而A′C的最小值為1，
∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，則α＜β＜θ．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是中檔題．