Question

16．當(dāng)雙曲線$\frac{x^2}{{{m^2}+8}}-\frac{y^2}{6-2m}=1$的焦距取得最小值時(shí)，其漸近線的方程為（　　）

• A． y=±x
• B． $y=±\frac{2}{3}x$
• C． $y=±\frac{1}{3}x$
• D． $y=±\frac{1}{2}x$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得其焦距2c=2$\sqrt{{（m}^{2}+8）+（6-2m）}$=2$\sqrt{{m}^{2}-2m+14}$，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得當(dāng)m=1時(shí)，雙曲線的焦距最小，將m的值代入雙曲線方程可得此時(shí)雙曲線的方程，由雙曲線的漸近線方程計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為$\frac{x^2}{{{m^2}+8}}-\frac{y^2}{6-2m}=1$，
其焦距2c=2$\sqrt{{（m}^{2}+8）+（6-2m）}$=2$\sqrt{{m}^{2}-2m+14}$，
分析可得：當(dāng)m=1時(shí)，雙曲線的焦距最小，
此時(shí)雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
其漸近線的方程為y=±$\frac{2}{3}$x，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線的焦距的公式．