Question

已知f（x）=（1+mx）²⁰¹³=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R）
（1）若m=

2

π

∫

1 -1

(sinx+

1-x2

)dx，求m、a₀及a₁的值；
（2）若離散型隨機(jī)變量X～B（4，

1

2

）且m=EX時，令b_n=（-1）ⁿna_n，求數(shù)列{b_n}的前2013項(xiàng)的和T₂₀₁₃．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)，即可求得積分，利用賦值法，可求a₀及a₁的值；
（2）利用二項(xiàng)分布的期望公式，可求m的值，利用函數(shù)關(guān)系式，兩邊求導(dǎo)，再賦值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵m=

2

π

∫

1 -1

(sinx+

1-x2

)dx
∴m=

2

π

∫

1 -1

sinxdx+

2

π

∫

1 -1

1-x2

dx=

2

π

(-cosx)

∫

1 -1

+

2

π

×

π

2

=1，
則：f(x)=(1+x)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013，
令x=0得：a₀=1，且a1=

C

1 2013

=2013；
（2）∵離散型隨機(jī)變量X～B(4，

1

2

)且m=EX
∴m=2，
∴f(x)=(1+2x)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013
則兩邊取導(dǎo)得：4026(1+2x)2012=a1+2a2x+3a3x2+…+2013a2013x2012
令x=-1得：4026（1-2）²⁰¹²=a₁-2a₂+3a₃-4a₄…+2013a₂₀₁₃
即：-a₁+2a₂-3a₃+4a₄-…-2013a₂₀₁₃=-4026；
∴數(shù)列{b_n}的前2013項(xiàng)的和T₂₀₁₃=-4026．

點(diǎn)評：本題考查定積分，考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．