Question

當0≤x≤2時，函數y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1的最大值為3，則實數a=

 

．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：本題中的函數是一個復合函數，求解此類函數在區(qū)間上的最值，一般用換元法，把復合函數的最值問題變?yōu)閮蓚�函數的最值問題，以達到簡化解題的目的．

解答： 解：設2^x=t，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化為：y=

1

2

（t-a）²+1，1≤t≤4
當a≤

5

2

時，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是減函數，在[a，4]上是增函數，
故y_min=1，y_max=

a2

2

-4a+9=3，∴a=2或6，2符合；
當a＜

5

2

時，y_max=

a2

2

-a+

3

2

=3，∴a=-1或3，3符合．
故答案為：2或3．

點評：本題考點是指數函數單調性的應用，考查指數復合型函數最值的求法，做此題時，采取了換元法求最值，其具體操作過程是先求內層函數的值域，再求外層函數在內層函數值域上的最值，此解法大大降低了判斷復合函數單調性的難度，使得復合函數最值的求解變得容易，求解復合函數的最值時注意靈活使用這一技巧．