Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是兩曲線的一個交點(diǎn)，且△PF₁F₂為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先利用雙曲線雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦點(diǎn)，求得a²+b²=4，再利用點(diǎn)P是兩曲線的一個交點(diǎn)，且△PF₁F₂為等腰三角形，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可求雙曲線的離心率．

解答： 解：不妨設(shè)P是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，P（x，y）
由題意，橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的焦點(diǎn)為（±2，0）
∵雙曲線線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），與橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦點(diǎn)
∴a²+b²=4①
∵點(diǎn)P是兩曲線的一個交點(diǎn)，且△PF₁F₂為等腰三角形
∴|PF₁|=|F₁F₂|=4
∵橢圓的左準(zhǔn)線方程為：x=-

a2

c

=-

9

2

∴

4

x+ 9 2

=

2

3

∴x=

3

2

∵P在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上
∴y²=

15

4

∵P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上
∴

9 4

a2

-

15 4

b2

=1②
由①②得：b²=3，a²=1，
∴c=2，
∴e=

c

a

=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義的運(yùn)用，屬于中檔題．