Question

8．設(shè)直線系A(chǔ)：（x-1）cos θ+（y-1）sin θ=1（0≤θ＜2π），對于下列五個命題：
①存在定點P不在A中的任一直線上；
②A中所有直線均經(jīng)過一個定點；
③對于任意的正整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在A中的直線上；
④A中的直線所能圍成的正三角形的面積都相等；
⑤A中的直線所能圍成的正方形的面積都相等．
其中所有真命題的序號是（　�。�

• A． ①②④
• B． ②③⑤
• C． ①③⑤
• D． ②④⑤

Answer 1

分析 令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-1=sinθ}\end{array}\right.$，則（x-1）²+（y-1）²=1，故直線系A(chǔ)：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1表示以（1，1）點為圓心，以1為半徑的圓C的所有切線的集合；進而逐一分析五個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-1=sinθ}\end{array}\right.$，則（x-1）²+（y-1）²=1，
對于①故直線系A(chǔ)：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1表示以（1，1）點為圓心，以1為半徑的圓C的所有切線的集合；
故當(dāng)P點在圓C內(nèi)時，P點不在A中的任一條直線上，故①正確；
對于②A中所有直線不經(jīng)過任一個定點，故②錯誤；
對于③對于任意正整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在A中的直線上，此時圓C為正n邊形的內(nèi)切圓，故③正確；
對于④A中的直線所能圍成的正三角形面積有6和$\frac{2}{3}$兩種情況，故④錯誤；
對于⑤A中的直線所能圍成的正方形面積均為4，故⑤正確．
∴所有真命題的序號是：①③⑤．
故選：C．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系，其中分析出直線系A(chǔ)表示以（1，1）點為圓心，以1為半徑的圓C的所有切線的集合是解答的關(guān)鍵，是中檔題．