Question

6．橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率$e=\frac{1}{2}$，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，過(guò)左焦點(diǎn)F₁ 與A 做直線交橢圓E于B．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），利用已知條件列出方程，求解a，b即可得到橢圓方程．
（2）求出F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），求出直線AB的斜率為：$\frac{3}{4}$，方程為y=$\frac{3}{4}$（x+2）．聯(lián)立直線與橢圓方程，然后求解三角形的面積．

解答 （12分）解：（1）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1}\\{\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解之得a²=16，b²=12．所以橢圓E的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（4分）
（2）解：由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），AF₂⊥x軸．
所以直線AB的斜率為：$\frac{3}{4}$，其方程為y=$\frac{3}{4}$（x+2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}y-2}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=48}\end{array}\right.$，得7y²-12y-27=0．

已知y₁=3，由${y_1}+{y_2}=\frac{12}{7}$得${y_2}=-\frac{9}{7}$，
∴${S_{△AB{F_2}}}=c•|{y_1}-{y_2}|=2×\frac{30}{7}=\frac{60}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．