Question

在等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，前m項和為S_m（S_m≠0），證明：S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…，S_km-S_（k-1）m構(gòu)成公比為 q的m次冪的等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分類討論，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：q=1時，S_m=ma₁，S_2m-S_m=2ma₁-ma₁=ma₁，S_3m-S_2m=3ma₁-2ma₁=ma₁，…，構(gòu)成公比為1的m次冪的等比數(shù)列，結(jié)論成立．
q≠1時，則S_m=

a1(1-qm)

1-q

；
S_2m-S_m=

a1(1-q2m)

1-q

-

a1(1-qm)

1-q

=q^m•

a1(1-qm)

1-q

；
S_3m-S_2m=

a1(1-q3m)

1-q

-

a1(1-q2m)

1-q

=q^2m•

a1(1-qm)

1-q

；
所以S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…，S_km-S_（k-1）m構(gòu)成公比為q的m次冪的等比數(shù)列．
綜上，S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m，…，S_km-S_（k-1）m構(gòu)成公比為 q的m次冪的等比數(shù)列．

點評：通過對數(shù)列的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣．