Question

8．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1（a＞0）
（1）當(dāng)a=1時，求橢圓的焦點坐標(biāo)及橢圓的離心率；
（2）過橢圓的右焦點F₂的直線與圓C：x²+y²=4a²（常數(shù)a＞0）交于A，B兩點，求|F₂A|•|F₂B|的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，焦點坐標(biāo)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)斜率不存在時，丨F₁A丨=丨F₁B丨=$\sqrt{3}$a，此時|F₂A|•|F₂B|=3a²；當(dāng)斜率不存在時，AB：y=k（x-a），代入圓方程，由韋達定理及兩點之間的距離公式即可|F₂A|•|F₂B|的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，焦點坐標(biāo)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），…（2分）
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；…（3分）
（2）當(dāng)斜率不存在時，丨F₁A丨=丨F₁B丨=$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a
此時|F₂A|•|F₂B|=3a²；                 （5分）
當(dāng)斜率不存在時，AB：y=k（x-a），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-a）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4{a}^{2}}\end{array}\right.$，整理得：（1+k²）x²-2ak²x+k²a²-4a²=0，（7分）
x₁+x₂=$\frac{2a{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}-4{a}^{2}}{1+{k}^{2}}$，（9分）
丨F₁A丨=$\sqrt{（{x}_{1}-a）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-a丨，丨F₂A丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₂-a丨，
∴|F₂A|•|F₂B|=（1+k²）丨x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²丨，
=（1+k²）丨$\frac{{k}^{2}{a}^{2}-4{a}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+a²丨，
=3a²，（11分）                
∴|F₂A|•|F₂B|為定值3a²．（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，韋達定理，兩點間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．