Question

13．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）是奇函數(shù)且當(dāng)x∈（0，+∞）時是減函數(shù)，若f（1）=0，則函數(shù)y=f（x²-2x）的零點共有（　�。�

• A． 4個
• B． 6個
• C． 3個
• D． 5個

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可得函數(shù)在（0，+∞）與（-∞，0）上各有一個零點，則y=f（x）共有3個零點，依次為-1、0、1，對于y=f（x²-2x），依次令x²-2x=-1、0、1，解可得x的值，即可得函數(shù)（x²-2x）的零點數(shù)目，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，則f（0）=0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時是減函數(shù)，且f（1）=0，則函數(shù)在（0，+∞）上只有一個零點，
若函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)且當(dāng)x∈（0，+∞）時是減函數(shù)，則f（x）在（-∞，0）為減函數(shù)，
又由f（1）=0，則f（-1）=-f（1）=0，則函數(shù)在（-∞，0）上只有一個零點，
故函數(shù)y=f（x）共有3個零點，依次為-1、0、1，
對于y=f（x²-2x），
當(dāng)x²-2x=-1，解可得x=1，
當(dāng)x²-2x=0，解可得x=0或2，
當(dāng)x²-2x=1，解可得x=1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$，
故y=f（x²-2x）的零點共有5個；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的零點的判斷，涉及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合運用，關(guān)鍵是分析得到函數(shù)y=f（x）的零點數(shù)目．