Question

18．已知拋物線C₁：y=ax²（a＞0）的焦點F也是橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一個焦點，點M，P（$\frac{3}{2}$，1）分別為曲線C₁，C₂上的點，則|MP|+|MF|的最小值為2．

Answer 1

分析 先求出橢圓方程，可得焦點坐標，再設(shè)點M在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|MD|進而把問題轉(zhuǎn)化為求|MP|+|MD|取得最小，進而可推斷出當D，M，P三點共線時|MP|+|MD|最小，答案可得．

解答 解：P（$\frac{3}{2}$，1）代入橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{1}{4}+\frac{9}{4^{2}}$=1，∴b=$\sqrt{3}$，
∴焦點F（0，1），
∴拋物線C₁：x²=4y，準線方程為y=-1．
設(shè)點M在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|MD|
∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，
當D，M，P三點共線時|MP|+|MD|最小，為1-（-1）=2．
故答案為2．

點評 本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當D，M，P三點共線時|PM|+|MD|最小，是解題的關(guān)鍵．