Question

若拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線x²-y²=1的中心，焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)C（2，1）交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得C恰為弦MN的中點(diǎn)？若存在，求出直線l方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由雙曲線方程求得其右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得拋物線的方程；
（2）假設(shè)存在直線l，使得C恰為弦MN的中點(diǎn)，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出l的斜率，求出直線方程后和雙曲線聯(lián)立后由判別式小于0說(shuō)明直線不存在．

解答： 解：（1）由x²-y²=1，可得a²=b²=1，
則雙曲線的右頂點(diǎn)為（1，0），
即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則

p

2

=1，p=2．
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）假設(shè)存在直線l，使得C恰為弦MN的中點(diǎn)，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y12=4x1，y22=4x2，
兩式作差得：y12-y22=4(x1-x2)，
即

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2．
∴直線l的斜率為2．
此時(shí)l的方程為y-1=2（x-2），即為2x-y-3=0．
聯(lián)立直線方程與雙曲線方程后判別式大于0，
∴滿足條件的直線方程為2x-y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了雙曲線與拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，是中檔題．