Question

3．已知函數(shù)f（x），g（x）滿足關(guān)系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常數(shù)．
（1）若f（x）=cosx+sinx，α=$\frac{π}{2}$，求g（x）的解析式，并寫出g（x）的遞增區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）=x，若g（x）≥1在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立，求常數(shù)α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=cosx+sinx，$α=\frac{π}{2}$，求出f（x+α），然后求解g（x）的解析式．得到遞增區(qū)間即可．
（2）轉(zhuǎn)化g（x）=x•（x+α）≥1，為$α≥\frac{1}{x}-x$，令$h（x）=\frac{1}{x}-x$，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值，得到a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，$α=\frac{π}{2}$，
∴f（x+α）=cosx-sinx；
∴g（x）=cos2x…（4分），
由π+2kπ≤2x≤2π+2kπ，k∈Z，可得x∈$[{\frac{1}{2}π+kπ，π+kπ}]$，（k∈Z）
遞增區(qū)間為$[{\frac{1}{2}π+kπ，π+kπ}]$，（k∈Z）（注：開區(qū)間或半開區(qū)間均正確） …（6分）
（2）∵g（x）=x•（x+α）≥1，當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$時，$α≥\frac{1}{x}-x$…（8分）
令$h（x）=\frac{1}{x}-x$，則函數(shù)y=h（x）在$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$上遞減…（10分）
所以$h{（x）_{max}}=h（\frac{1}{2}）=\frac{3}{2}$…（12分）
因而，當(dāng)$α≥\frac{3}{2}$時，g（x）≥1在$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$上恒成立…（14分）

點評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．