Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，把函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列{a_n}，則該數(shù)列的通項公式為（　　）

• A． a_n=$\frac{n-1}{2}$
• B． a_n=n-1
• C． a_n=（n-1）²
• D． a_n=2ⁿ-2

Answer 1

分析 由題意可求得f（x-n）=x-n；從而可得x=n；故函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點為0，1，2，3，4，5，…，n-1，…；從而寫出其通項公式．

解答 解：當(dāng)x≤0時，
令f（x）=x，即2^x-1=x；
解得，x=0；
當(dāng)0＜x≤1時，
令f（x）=x，即f（x-1）+1=x；
即f（x-1）=x-1；
故x-1=0；
故x=1；
當(dāng)n-1＜x≤n時，
令f（x）=x，即f（x-1）+1=x；
即f（x-2）+2=x，
即f（x-3）+3=x；
…
即f（x-n）+n=x；
即f（x-n）=x-n；
故x-n=0；
故x=n；
故函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點為0，1，2，3，4，5，…，n-1，…；
故其通項公式為a_n=n-1；
故選B．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)列的通項公式的求法，屬于中檔題．