Question

銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c．已知

m

=（c-2a，b），

n

=（cosB，cosC），且|

m

+

n

|=|

m

-

n

|．又b=

3

．
（1）求三角形ABC的面積S的最大值；
（2）求三角形ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題,三角形的面積公式,向量的模

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用|

m

+

n

|=|

m

-

n

|，可得

m

•

n

=0，結(jié)合

m

=（c-2a，b），

n

=（cosB，cosC），可求B，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，可得ac≤3，利用S=

1

2

acsinB，即可求三角形ABC的面積S的最大值；
（2）求三角形ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍，關(guān)鍵是求a+c的范圍，利用基本不等式可求．

解答： 解：（1）∵

m

=（c-2a，b），

n

=（cosB，cosC），且|

m

+

n

|=|

m

-

n

|，
∴

m

•

n

=0，
∴（c-2a）cosB+bcosC=0，
∴（sinC-2sinA）cosB+sinBcosC=0，
∴-2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=60°，
∵b=

3

，
∴3=a²+c²-ac≥2ac-ac，
∴ac≤3，
∴S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3 3

4

，即三角形ABC的面積S的最大值為

3 3

4

；
（2）l=a+b+c=

3

+a+c，
∵3=a²+c²-ac，
∴3=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3•

(a+c)2

4

，
∴a+c≤2

3

，
∵a+c＞b=

3

，
∴

3

＜a+c≤2

3

，
∴2

3

＜l≤3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合，考查余弦定理，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．