Question

7．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=$\frac{1}{2}$AD，E是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）試問(wèn)線段PB上是否存在點(diǎn)F，使二面角C-DE-F的余弦值為$\frac{1}{4}$？若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PE，利用等邊三角形的性質(zhì)可得：PE⊥AB．利用線面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．則PE是四棱錐P-ABCD的高．再利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；
（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答 （1）證明：因?yàn)锳D⊥側(cè)面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．
又因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，E是線段AB的中點(diǎn)，
所以PE⊥AB．
因?yàn)锳D∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．
 所以PE是四棱錐P-ABCD的高．
由DA=AB=2，$BC=\frac{1}{2}AD$，可得BC=1．
因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，可求得$PE=\sqrt{3}$．
所以${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
（2）解：以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz．
則A（0，1，0），E（0，0，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$）．
設(shè)$F（{x_0}，{y_0}，{z_0}），\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PB}$，
則$（{x_0}，{y_0}，{z_0}-\sqrt{3}）=λ（0，-1，-\sqrt{3}）$
$所以F（0，-λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面DEF的法向量，$\overrightarrow{ED}=（2，1，0），\overrightarrow{EF}=（0，-λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{n}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=-λy+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\end{array}\right.$
$所以\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\\ z=\frac{2λ}{{\sqrt{3}（λ-1）}}.\end{array}\right.$所以$\overrightarrow{n}=（1，-2，\frac{2λ}{\sqrt{3}（λ-1）}）$．
設(shè)平面CDE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
$所以\left|{\;}\right.cos\left?{\overline m，\overline n}\right＞\left.{\;}\right|=\frac{{\left|{\;}\right.\frac{2λ}{{\sqrt{3}（λ-1）}}\left.{\;}\right|}}{{\sqrt{1+4+{{[{\frac{2λ}{{\sqrt{3}（λ-1）}}}]}^2}}}}=\frac{1}{4}$．
化簡(jiǎn)得3λ²+2λ-1=0．
解得$λ=-1（舍）或λ=\frac{1}{3}$．
所以存在點(diǎn)F，且$PF=\frac{1}{3}PB$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三棱錐的體積計(jì)算公式、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角公式求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．