Question

已知向量

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），
（1）若θ為銳角且

a

•

b

=

13

6

，求sinθ+cosθ的值；
（2）若

a

∥

b

，求sin(2θ+

π

4

)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由數(shù)量積易得sinθcosθ=

1

6

，可得sinθ+cosθ=

(sinθ+cosθ)2

=

sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ

代值計(jì)算可得；
（2）由

a

∥

b

可得2cosθ-sinθ=0，結(jié)合sin²θ+cos²θ=1可解得

sinθ= 2 5 5 cosθ= 5 5

或

sinθ=- 2 5 5 cosθ=- 5 5

，由二倍角公式可得sin2θ和cos2θ，再由兩角和的正弦公式可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），
∴

a

•

b

=2+sinθcosθ=

13

6

，∴sinθcosθ=

1

6

，
∵θ為銳角，∴sinθ+cosθ=

(sinθ+cosθ)2

=

sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ

=

1+2× 1 6

=

2 3

3

；
（2）∵

a

∥

b

，∴2cosθ-sinθ=0，
結(jié)合sin²θ+cos²θ=1可解得

sinθ= 2 5 5 cosθ= 5 5

或

sinθ=- 2 5 5 cosθ=- 5 5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=

4

5

，cos2θ=cos²θ-sin²θ=-

3

5

，
∴sin(2θ+

π

4

)=

2

2

sin2θ+

2

2

cos2θ=

2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及向量的數(shù)量積和二倍角公式，屬基礎(chǔ)題．