Question

12．設(shè)橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓E在第二象限上的點(diǎn)，直線OB交橢圓E于點(diǎn)C，若直線FB平分線段AC，則橢圓E的離心率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角形的中位線定理，根據(jù)三角形的相似，求得a和C的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意AC中點(diǎn)為M，連接OM，則OM為△ABC的中位線，
∴△OFM∽△AFB，
且$\frac{丨OF丨}{丨FA丨}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a-c}$=$\frac{1}{2}$，
整理得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
橢圓E的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查相似三角形的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．