Question

5．如圖所示，已知直線l：y=kx-1（k＞0）與拋物線C：x²=4y交與M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若|MF|=2|NF|，則實(shí)數(shù)k的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 直線l：y=kx-1（k＞0）即為x=$\frac{1}{k}$（y+1），代入拋物線方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由判別式大于0，韋達(dá)定理及拋物線的定義，解方程即可得到k，注意檢驗(yàn)判別式．

解答 解：直線l：y=kx-1（k＞0）即為x=$\frac{1}{k}$（y+1），
代入拋物線方程，可得y²+（2-4k²）y+1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則判別式（2-4k²）²-4＞0，
y₁+y₂=4k²-2①，y₁y₂=1②，
由于拋物線的準(zhǔn)線為y=-1，
則有拋物線的定義可得，
|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
由|MF|=2|NF|，即有y₁+1=2（y₂+1）③，
由①②③解得k²=$\frac{9}{8}$，檢驗(yàn)判別式大于0成立，
則k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．