Question

15．如圖，一條東西走向的大江，其河岸A處有人要渡江到對(duì)岸B處，江面上有一座大橋AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．現(xiàn)有兩種渡江方案：
方案一：開(kāi)車從大橋AC渡江到C處，然后再到B處；
方案二：直接坐船從A處渡江到對(duì)岸B處．
若車速為每小時(shí)60公里，船速為每小時(shí)45公里（不考慮水流速度），為了盡快到達(dá)B處，應(yīng)選擇哪個(gè)方案？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 分別計(jì)算兩種方案的時(shí)間即可．

解答 解：如圖，過(guò)A作AD垂直BC交于D，
根據(jù)題意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，
設(shè)CD為x公里，則有AD=$\frac{CD}{tan15°}$，
由于tan15°=tan（45°-30°）
=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°tan30°}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=$2-\sqrt{3}$，
故AD=$\frac{CD}{tan15°}$=$\frac{x}{2-\sqrt{3}}$=（2$+\sqrt{3}$）x，
∵BC=10公里，∠BAD=45°，∴BD=AD，
即（2$+\sqrt{3}$）x=x+10，解得x=CD=$5\sqrt{3}-5$，
從而AD=（2$+\sqrt{3}$）×（$5\sqrt{3}-5$）=5+$5\sqrt{3}$，
AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{3}-5）^{2}+（5+5\sqrt{3}）^{2}}$=10$\sqrt{2}$≈14.14，
AB=$\sqrt{2}AD$=$\sqrt{2}×$（5+$5\sqrt{3}$）=$5\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）$≈19.32，
下面分別計(jì)算兩種方案所要花費(fèi)的時(shí)間：
方案一：$\frac{AC+BC}{60}$≈$\frac{14.14+10}{60}$≈0.4023（時(shí)）；
方案二：$\frac{AB}{45}$$≈\frac{19.32}{45}$≈0.4293（時(shí)）；
顯然選擇方案一．

點(diǎn)評(píng) 本題考查速度、路程、時(shí)間之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．