Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

log_a（ax）•log_a（a²x）（a＞0，且a≠1）．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，8]上的最大值是1，最小值是-

1

8

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先將不等式進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為關(guān)于log_ax的二次不等式，解出log_ax后，再結(jié)合已知求解x的范圍；
（2）利用換元思想，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，結(jié)合配方法求出結(jié)果，注意分類討論．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

（log_ax+1）（log_ax+2）=

1

2

（log

2 a

x+3log_ax+2），
令f（x）＞0，即log

2 a

x+3log_ax+2＞0，解得log₂x＜-2或log_ax＞-1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式解集為{x|0＜x＜

1

a

或x＞

1

a2

}，
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式解集為{x|0＜x＜

1

a2

或x＞

1

a

}，
（2）由題意知f（x）=

1

2

（log_ax+1）（log_ax+2）
=

1

2

（loga2x+3logax+2）=

1

2

（log_ax+

3

2

）²-

1

8

．
當(dāng)f（x）取最小值-

1

8

時(shí)，log_ax=-

3

2

．
又∵x∈[2，8]，∴a∈（0，1）．
∵f（x）是關(guān)于log_ax的二次函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的最大值必在x=2或x=8時(shí)取得．
若

1

2

（log_a2+

3

2

）²-

1

8

=1，則a=2-

1

3

，
此時(shí)f（x）取得最小值時(shí)，x=(2-

1

3

)-

3

2

=

2

∉[2，8]，舍去．
若

1

2

（log_a8+

3

2

）²-

1

8

=1，則a=

1

2

，
此時(shí)f（x）取得最小值時(shí)，x=(

1

2

)-

3

2

=2

2

∈[2，8]，
符合題意，∴a=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)為內(nèi)層時(shí)，一般采用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解，注意中間量的取值范圍．