Question

17．過(guò)M（-1，0）做拋物線C：y²=2px（p＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．若$\overline{MA}•\overline{MB}=0$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）N（t，0），（t≥1），過(guò)N任做一直線交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)t也變化時(shí)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）$\overline{MA}•\overline{MB}=0$⇒MA•MB=90°，由拋物線的對(duì)稱性可得：K_MA=1，直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立化為：y²-2px+2p=0．利用△=0，即可得出p．
（2）設(shè)PQ的方程為：x=my+t，代入拋物線方程可得y²-4my-4t=0，t≥1．△＞0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），y₁+y₂=4my，y₁y₂=-4t，$|{PQ}|=\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{（1+m{）^2}+16t}$，即可得出．

解答 解：（1）$\overline{MA}•\overline{MB}=0$⇒MA•MB=90°，
由拋物線的對(duì)稱性，∴K_MA=1，
∴${l_{AM}}：\left\{{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y^2}=2px}\end{array}}\right.$，
∴y²-2px+2p=0．
∴$\left.{\begin{array}{l}{△=4{p^2}-8p=0}\\{p＞0}\end{array}}\right\}$，∴p=2．
∴y²=4x．
（2）設(shè)PQ的方程為：x=my+t，代入拋物線方程可得：y²-4my-4t=0，t≥1．△＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4my，y₁y₂=-4t，
$|{PQ}|=\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{（1+m{）^2}+16t}$=$4\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{{m^2}+t}$，
∴m=0時(shí)，${|{PQ}|_{min}}=4\sqrt{t}$（t≥1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相切相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．