Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對任意實數(shù)x有f（x）＞f′（x），且y=f（x）-1的圖象過原點，則不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減
∵f（x）＜e^x
∴g（x）＜1
∵y=f（x）-1的圖象過原點，
∴f（0）=1
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案為（0，+∞）

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．