Question

5．設(shè)橢圓E：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且點(diǎn)M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1）在橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線經(jīng)過點(diǎn)M（-2，0）與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，試求△AOB面積最大值及此時的直線方程．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和M滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程為my=x+2，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出|y₁-y₂|，由S_△AOB=S_△BOM-S_△AOM=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|，化簡整理，再由換元法和基本不等式即可得到最小值和直線的方程．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²，a²=2b² ①，
又M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1）在橢圓上，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1 ②
解由①②組成的方程組得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1；    
（2）設(shè)直線l的方程為my=x+2，代入橢圓方程，消去x整理得
（2m²+1）y²-8my+6=0，由題意知，△＞0?2m²-3＞0   ③
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得，y₁+y₂=$\frac{8m}{1+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{6}{1+2{m}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{64{m}^{2}}{（1+2{m}^{2}）^{2}}-\frac{24}{1+2{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2{m}^{2}-3}}{1+2{m}^{2}}$，
于是S_△AOB=S_△BOM-S_△AOM=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2{m}^{2}-3}}{1+2{m}^{2}}$，
令t=$\sqrt{2{m}^{2}-3}$，則2m²=t²+3，由③知，t＞0，
∴$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2{m}^{2}-3}}{1+2{m}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}$，
∵t＞0，∴t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時取等號，
∴S_△AOB=g（t）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即△AOB面積最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
此時，2m²=7，∴m=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
相應(yīng)的直線l的方程為±$\frac{\sqrt{14}}{2}$y=x+2，
即為2x-$\sqrt{14}$y+4=0或2x+$\sqrt{14}$y+4=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率，點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查基本不等式求最值和換元法，同時考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．