Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a∈[-2，2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（ I）先求出f'（x），得出x∈（-∞，0），f'（x）＜0；x∈（0，+∞），f'（x）＞0，從而f（0）=b是唯一極值．
（Ⅱ）由題意得函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者．有

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立，從而求出b的范圍．

解答： 解：（ I）f'（x）=x（4x²+3ax+4），
顯然a∈[-2，2]4x²+3ax+4＞0．
當(dāng)x∈（-∞，0），f′（x）＜0；
x∈（0，+∞），f′（x）＞0，
所以f（0）=b是唯一極值．
（Ⅱ）由條件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，從而4x²+3ax+4＞0恒成立．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0．
因此函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者．
為使對(duì)任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)

f(1)≤1 f(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．