Question

【題目】設(shè)，，，是橢圓：（）的四個(gè)頂點(diǎn)，四邊形是圓：的外切平行四邊形，其面積為.橢圓的內(nèi)接的重心（三條中線的交點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以及菱形的面積公式可得到關(guān)于的二元二次方程組，解出方程組可得橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得三角形的面積，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程， ， ，聯(lián)立直線與橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理以及，由為重心，可得點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)在橢圓上代入化簡(jiǎn)整理可得，利用弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式求出及，由與整體代換思想相結(jié)合可得最后結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅?/span>是圓外切平行四邊形，所以，

又，所以，，

故所求橢圓的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，因?yàn)?/span>為的重心，故為左、右頂點(diǎn)，

不妨設(shè)，則直線的方程為，

易得，到直線的距離，

所以.

設(shè)直線方程為：，，.

由得，

則.

即，

∴，

∴.

∵為的重心，∴，

∵點(diǎn)在橢圓上，故有，

化簡(jiǎn)得.

∴.

又點(diǎn)到直線的距離（是原點(diǎn)到距離的3倍得到）.

∴.

綜上可得，的面積為定值.