Question

【題目】若函數(shù)與在給定的區(qū)間上滿足恒成立，則稱這兩個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上“和諧”。

（1）若函數(shù)與在R上和諧，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)與在上和諧，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由已知條件得，需都在上恒成立，或有相同的兩個(gè)不等的實(shí)根，即 ，或，

可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）由對(duì)數(shù)的定義域得,再由題意得，由和,可得和,再由討論當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),分別根據(jù)不等式的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）由已知條件得，若函數(shù)與在R上和諧，

則需都在上恒成立，或有相同的兩個(gè)不等的實(shí)根，

當(dāng)都在上恒成立時(shí)，則需，解得，所以；

當(dāng)有相同的兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，，解得，

綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是；

（2）由對(duì)數(shù)的定義域可得,再由題意得，
由,可得,所以時(shí)，，時(shí)，；

由,可得，所以時(shí)，，時(shí)，，
由題意要使函數(shù)與在上和諧，則的兩零點(diǎn)之間必需無(wú)正整數(shù),
又由于,所以

當(dāng)時(shí),, ,之間有正整數(shù)，不滿足題意;
當(dāng)時(shí),, ,之間有正整數(shù)，不滿足題意;

當(dāng)時(shí),,滿足題意.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.