Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-2lnx．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x³-x+t，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.718）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）由題意可得t=x-2lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，令k（x）=x-2lnx，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極值，即為最值，求得端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到所求t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
f（x）的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=3{x^2}-\frac{2}{x}$，
曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為1，又f（1）=1，
可得所求切線(xiàn)方程為y-1=1（x-1），即x-y=0；
（Ⅱ）函數(shù)h（x）=-2lnx+x-t在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
等價(jià)于-2lnx+x-t=0在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
等價(jià)于t=x-2lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
令k（x）=x-2lnx，則$k'（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$，
當(dāng)$x∈（\frac{1}{e}，2）$時(shí)，k'（x）＜0，可得k（x）在$（\frac{1}{e}，2）$遞減；
當(dāng)x∈（2，e]時(shí)，k'（x）＞0，即有k（x）在（2，e]遞增．
故k_min（x）=k（2）=2-2ln2，
又$k（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}+1，k（e）=e-1$，
由$k（\frac{1}{e}）-k（e）=2-e+\frac{1}{e}＜0$，可得$k（\frac{1}{e}）＜k（e）$，
則$k（1）＜t≤k（\frac{1}{e}）$，即$t∈（2-2ln2，1+\frac{1}{e}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．