Question

14．設G為△ABC的重心，$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{AM}$，則（　�。�

• A． $\overrightarrow{BM}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$
• B． $\overrightarrow{BM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$
• C． $\overrightarrow{BM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$
• D． $\overrightarrow{BM}$=-$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$-$\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$

Answer 1

分析 根據G為△ABC的重心及向量加法平行四邊形法則即可得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，再由向量減法和數乘的幾何意義及向量的數乘運算便可得到$\overrightarrow{AG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，同樣由$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AM}$可得到$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}$，從而得出$-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}$，進行向量的數乘運算即可求出$\overrightarrow{BM}$，從而找出正確選項．

解答 解：如圖，

根據條件，$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}（-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$；
又$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AM}=2（\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}）=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}$；
∴$-\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$．
故選：B．

點評 考查向量減法和數乘的幾何意義，向量的數乘運算，三角形重心的概念及重心的性質．