Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-

4π

3

）+2cos²x．
（1）求f（x）的對稱軸方程；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（

A

2

）=

1

2

，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，即可求解函數(shù)的對稱軸方程．
（2）利用f（

A

2

）=

1

2

，b+c=2，結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可求解a的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos（2x-

4π

3

）+2cos²x
=-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+cos2x+1
=cos（2x+

π

3

）+1，
由2x+

π

3

=kπ得f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)  
（2）由f（

A

2

）=cos(2•

A

2

+

π

3

)+1=

1

2

，
可得cos(A+

π

3

)=-

1

2

，由A∈（0，π），可得A=

π

3

．
在△ABC中，由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，
由b+c=2知bc≤（

b+c

2

^）2=1，當(dāng)b=c=1時bc取最大值，
此時a取最小值1．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，考查解三角形的知識．