Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+x-m
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）＜2x-x²-（x-2）e^x在x∈（0，3）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極大值即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m＞（x-2）e^x+lnx-x在x∈（0，3）恒成立，設(shè)h（x）=（x-2）e^x+lnx-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞），
由題意得：f′（x）=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（1）=-m，沒(méi)有極小值；
（Ⅱ）∵f（x）＜2x-x²-（x-2）e^x在x∈（0，3）上恒成立，
∴m＞（x-2）e^x+lnx-x在x∈（0，3）恒成立，
設(shè)h（x）=（x-2）e^x+lnx-x，則h′（x）=（x-1）（e^x-$\frac{1}{x}$），
x＞1時(shí)，x-1＞0，且e^x＞e，$\frac{1}{x}$＜1，
∴e^x-$\frac{1}{x}$＞0，h′（x）＞0，
0＜x＜1時(shí)，x-1＜0，設(shè)u（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
則u′（x）=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴u（x）在（0，1）遞增，
∵u（$\frac{1}{10}$）＜0，u（1）＞0，
∴?x₀∈（0，1），使得u（x₀）=0，
由y=e^x和y=$\frac{1}{x}$的圖象可得，
h（x）在（0，x₀）遞增，在（x₀，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
h（x₀）=1-$\frac{2}{{x}_{0}}$-2x₀，
∵x₀∈（0，1），∴-$\frac{2}{{x}_{0}}$＜-2，
又h（x₀）=1-$\frac{2}{{x}_{0}}$-2x₀＜-1-2x₀＜-1，
h（3）＞0，
∴x∈（0，3）時(shí)，h（x）＜h（3），
∴m≥h（3），即m∈[e²+ln3-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．