Question

5．以直角坐標系的原O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且兩個坐標系相等的單位長度，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=2．
（Ⅰ）寫出直線l的一般方程及圓C標準方程；
（Ⅱ）設(shè)P（-1，1），直線l和圓C相交于A，B兩點，求||PA|-|PB||的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的一般方程；由ρ=2可得ρ²=4，由此能求出圓C的標準方程．
（Ⅱ）點P（-1，1）P在圓內(nèi)，且直線l上，聯(lián)立圓的方程和直線l的參數(shù)方程方程組，得5t²+8t+1=0，利用韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出||PA|-|PB||的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），
∴由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得x-1=2（y-2），
化簡并整理可得直線l的一般方程為x-2y+3=0，
∵圓C的極坐標方程為ρ=2，
∴由ρ=2可得ρ²=4，即x²+y²=4，
∴圓C的標準方程為x²+y²=4．
（Ⅱ）∵P（-1，1），|PC|=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$＜R=2，
點P（-1，1）代入直線l的方程，成立，
∴點P在圓內(nèi)，且直線l上，
聯(lián)立圓的方程和直線l的參數(shù)方程方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ x=1+2t，得5{t^2}+8t+1=0\\ y=2+t\end{array}\right.$，
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則${t_A}+{t_B}=-\frac{8}{5}，{t_A}{t_B}=\frac{1}{5}＞0$，
∴$（{1+{t_A}}）（1+{t_B}）={t_A}{t_B}+{t_A}+{t_B}+1=\frac{1}{5}-\frac{8}{5}+1=-\frac{2}{5}＜0$，
則$|{PA}|=\sqrt{{{（{{x_A}+1}）}^2}+{{（{{y_A}-1}）}^2}}=\sqrt{{{（{2{t_A}+2}）}^2}+{{（{{t_A}+1}）}^2}}=\sqrt{5}|{{t_A}+1}|$，
同理$|{PB}|=\sqrt{5}|{{t_B}+1}|$，
∴$|{|{PA}|-|{PB}|}|=\sqrt{5}|{{t_A}+1}|-|{{t_B}+1}|=\sqrt{5}|{{t_A}+{t_B}+2}|=\sqrt{5}|{-\frac{8}{5}+2}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查直線的一般方程、圓的標準方程的求法，考查兩線段之差的絕對值的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標方程的互化、韋達定理、弦長公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．