Question

一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，其正視圖、俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直角三角形．
（1）請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；
（2）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)已知幾何體的三視圖，及三視圖中邊角的關(guān)系，便可判斷畫出該幾何體的直觀圖，并知道該直觀圖是底面是直角三角形的直三棱柱．根據(jù)已知的邊的大小即可求出該直觀圖的體積V=

1

2

×1×

3

×

3

=

3

2

；
（2）要證明A₁C⊥平面AB₁C₁，根據(jù)線面垂直的判定定理，只要證明A₁C垂直于平面AB₁C₁內(nèi)的兩相交直線即可．由已知條件知四邊形ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．根據(jù)（1）及已知的B₁C₁⊥A₁C₁容易證明B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，所以便可得到A₁C⊥B₁C₁，從而便得到A₁C⊥平面AB₁C₁．

解答： 解：（1）根據(jù)該幾何體的三視圖畫出該幾何體的直觀圖如下圖所示，根據(jù)三視圖中邊的關(guān)系知：CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，AC∩BC=C，∴CC₁⊥平面ABC；
又AC⊥BC，所以該直觀圖是底面是直角三角形的直三棱柱；
根據(jù)三視圖中已知的邊長為：BC=1，AC=

3

，CC1=

3

；
∴該直三棱柱的體積V=

1

2

×1×

3

×

3

=

3

2

；
（2）由（1）知CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，∴CC₁⊥B₁C₁，即B₁C₁⊥CC₁；
又B₁C₁⊥A₁C₁，CC₁∩A₁C₁=C₁；
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，A₁C?平面ACC₁A₁；
∴B₁C₁⊥A₁C，即A₁C⊥B₁C₁；
又四邊形ACC₁A₁是正方形，∴A₁C⊥AC₁，AC₁∩B₁C₁=C₁；
∴A₁C⊥平面AB₁C₁．

點評：考查空間幾何體的三視圖與直觀圖的概念，以及三棱柱的體積公式，線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)．