Question

已知函數(shù)f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，當(dāng)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]時(shí)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先去絕對值將函數(shù)f（x）變成：f（x）=

x3-3x x≥ 3 3x-x3 0≤x＜ 3

，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)x³-3x在[

3

，+∞)單調(diào)遞增，并且令x³-3x=2得，x=2，因?yàn)閒（x）的值域是[0，2]，所以x≤2；同樣的辦法可判斷函數(shù)3x-x³在[0，1]單調(diào)遞增，在（1，

3

）單調(diào)遞減，所以x=1時(shí)該函數(shù)取最大值2，x=0時(shí)取最小值0，所以函數(shù)f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，并且x∈[0，2]時(shí)f（x）的值域也是[0，2]，所以m∈[1，2]．

解答： 解：f（x）=x|x²-3|=

x3-3x x≥ 3 3x-x3 0≤x＜ 3

；
（1）（x³-3x）′=3x²-3，∴x³-3x在[

3

，+∞)上單調(diào)遞增，令x³-3x=2得，x=2，∴x∈[

3

，2]；
（2）（3x-x³）′=3-3x²，∴3x-x³在[0，1）單調(diào)遞增，在[1，

3

）上單調(diào)遞減，∴x=1時(shí)3x-x³取最大值2，x=0時(shí)，取最小值0，即此時(shí)f（x）∈[0，2]，∴x∈[0，

3

)，且x∈[0，1]時(shí)f（x）的值域?yàn)閇0，2]；
∴x∈[0，1]f（x）值域是[0，2]，x∈[0，2]時(shí)f（x）的值域也是[0，2]；
∴m∈[1，2]；
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評：考查處理含絕對值函數(shù)的方法，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，函數(shù)的值域的概念及函數(shù)最值的求法．