Question

20．已知$α∈（{0\;，\;\;\frac{π}{2}}）\;，\;\;sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求$sin（{α+\frac{π}{4}}）$的值；
（2）求tan2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式，求得$sin（{α+\frac{π}{4}}）$的值．
（2）先求得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值．

解答 解：（1）∵已知$α∈（{0\;，\;\;\frac{π}{2}}）\;，\;\;sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
∴$cosα=\frac{2}{5}\sqrt{5}$，∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（2）∵tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2}$，∴tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．