Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線，曲線，點(diǎn)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線和的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）

【解析】試題分析：（1）第（1）問，利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式解答 .(2)第（2）問，

先把直線的參數(shù)方程代入曲線C1的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理求出，再求出，最后代入，求出的最大值.

試題解析：

（1）曲線C1的直角坐標(biāo)方程為：x2＋y2－2y＝0；

曲線C2的直角坐標(biāo)方程為：x＝3．

（2）P的直角坐標(biāo)為(－1，0)，設(shè)直線l的傾斜角為α，(0＜α＜)，

則直線l的參數(shù)方程為： , (t為參數(shù)，0＜α＜)

代入C1的直角坐標(biāo)方程整理得，

t2－2(sinα＋cosα)t＋1＝0，

t1＋t2＝2(sinα＋cosα)

直線l的參數(shù)方程與x＝3聯(lián)立解得，t3＝，

由t的幾何意義可知，

|PA|＋|PB|＝2(sinα＋cosα)＝λ|PQ|＝，整理得，

4λ＝2(sinα＋cosα)cosα＝sin2α＋cos2α＋1＝sin(2α＋)＋1，

由0＜α＜， ＜2α＋＜，

所以，當(dāng)2α＋＝，即α＝時，λ有最大值．