Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長(zhǎng)為2+2$\sqrt{2}$．記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線了．
（Ⅰ）求曲線T的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（ $\sqrt{2}$，0），N（0，1），是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$）且斜率為k的直線l與曲線T有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{MN}$共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)C（x，y），由|AC|+|BC|+|AB|=2+2$\sqrt{2}$，|AB|=2，可得|AC|+|BC||=2$\sqrt{2}$＞2，利用橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的橢圓，除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．
（II）設(shè)直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程可得：$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）{x}^{2}$+2$\sqrt{2}$kx+1=0，由于直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，可得△＞0，解得k的取值范圍．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{MN}$共線，∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\sqrt{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解出即可判斷出．

解答 解：（I）設(shè)C（x，y），∵|AC|+|BC|+|AB|=2+2$\sqrt{2}$，|AB|=2，
∴|AC|+|BC||=2$\sqrt{2}$＞2，
∴橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的橢圓，除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，∴b²=a²-c²=1．
∴曲線T的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1（y≠0）．
（II）設(shè)直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程可得：$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）{x}^{2}$+2$\sqrt{2}$kx+1=0，
∵直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，
∴△=8k²-4$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）$＞0，解得$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$或k$＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴滿足條件的k的取值范圍是$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$∪$（\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
又x₁+x₂=$\frac{-4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{MN}$=$（-\sqrt{2}，1）$．
∵向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{MN}$共線，∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\sqrt{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∴$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}=\frac{-4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+2\sqrt{2}$，解得k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$∉$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$∪$（\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．
∴不存在k使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{MN}$共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．