Question

8．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$，記z=4x+y的最大值為a，則${∫}_{0}^{\frac{π}{a}}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）²dx=$\frac{π}{3}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求a，然后求解定積分．

解答 解：設(shè)z=4x+y，則只需求直線z=4x+y在y軸上的截距的最大值．
x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$的可行域如圖：
當(dāng)直線與經(jīng)過A時，截距最大，由$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x+y=1\end{array}\right.$，可得A（1，-1），解得a=3，
${∫}_{0}^{\frac{π}{a}}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）²dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$（1-sinx）dx=（x+cosx）${|}_{0}^{\frac{π}{3}}$
=$\frac{π}{3}-\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{3}-\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．