Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l：x-y+2=0與以右焦點F為圓心，橢圓E的長半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）是否存在直線l₀，使得直線l₀和橢圓E相切，切點在第一象限，且截圓F所得弦長為4？若存在，試求l₀的直線方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l：x-y+2=0與圓F：（x-c）²+y²=a²相切，求得c，b繼而求得橢圓方程．
（Ⅱ）由題設知斜率存在，設直線l₀：y=kx+m（k＜0）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$消去y整理得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，利用截得弦長來求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l：x-y+2=0與圓F：（x-c）²+y²=a²相切．
∴$\frac{c+2}{\sqrt{2}}=a$，即e$+\frac{2}{a}=\sqrt{2}$，∴$a=2\sqrt{2}$，因此c=2，則b=2．
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l₀，由題設知斜率存在，設直線l₀：y=kx+m（k＜0）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$消去y整理得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，
則△=16m²k²-4（2m²-8）（1+2k²）=0，即m²=8k²-4①
由（Ⅰ）知圓F：（x-2）²+y²=8，
由于直線l₀截圓F所得弦長為4，則點F到直線l₀：kx-y+m=0的距離d=$\sqrt{8-{2}^{2}}=2$，
故$d=\frac{|2k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，即m²+4km=4②
由①-②得-4km=8k²，即m=-2k，將其代入①中得4k²=8k²+4，該方程顯然無實數解，
故不存在直線l₀滿足條件．

點評 本題主要考查直線與圓相切求得橢圓方程和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題，在高考中時常涉及．