Question

4．已知拋物線的圖象關于x軸對稱，它的頂點是坐標原點，焦點為F，并且經(jīng)過點M（2，-2）．
（1）求該拋物線方程及|MF|
（2）若直線y=x-2與拋物線相交于A、B兩點，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）設拋物線方程為y²=mx，代入M（2，-2），求出m，即可求該拋物線方程及|MF|；
（2）先聯(lián)立直線與拋物線方程消去x，利用韋達定理取得y₁+y₂和y₁y₂的值，進而根據(jù)直線方程求得x₁x₂的值，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可證明結論．

解答 （1）解：設拋物線方程為y²=mx，
代入M（2，-2），可得4=2m，即有m=2，
則拋物線的方程為y²=2x，|MF|=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
（2）證明：聯(lián)立直線與拋物線方程得y²-2y-4=0
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
∴x₁x₂=（y₁+2）（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=4
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB．

點評 本題主要考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系．解決的常用方法即為聯(lián)立方程，消元后利用韋達定理找到解決問題的突破口．