Question

15．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂．若雙曲線C上存在一點P，使得△PF₁F₂為等腰三角形，且cos∠PF₁F₂=$\frac{1}{8}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 通過分析可知F₁F₂=PF₂=2c，利用雙曲線的定義可知PF₁=2c-2a，通過余弦定理化簡得3c²-7ac+4a²=0，進而計算可得結論．

解答 解：由題可知，邊F₁F₂為腰，
則等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，
根據(jù)雙曲線的定義可知PF₁=2c-2a，
∵cos∠PF₁F₂=$\frac{1}{8}$，
∴$P{{F}_{2}}^{2}$=$P{{F}_{1}}^{2}$+${F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$-2PF₁•F₁F₂cos∠PF₁F₂，
即4c²=4c²+4（c-a）²-2•（2c-2a）•2c•$\frac{1}{8}$，
化簡得：3c²-7ac+4a²=0，
∴3e²-7e+4=0，
解得e=$\frac{4}{3}$或e=1（舍），
故選：A．

點評 本題考查求雙曲線的離心率，涉及到余弦定理等基礎知識，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．