Question

8．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）有相同的定義域D，且f（x）為增函數(shù)，g（x）為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）+g（x），f（x）-g（x）中哪一個(gè)為增函數(shù)？

Answer 1

分析 容易根據(jù)已知條件得到f（x）-g（x）為增函數(shù)，而f（x）+g（x）的單調(diào)性不能判斷，可根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義證明f（x）-g（x）為增函數(shù)：設(shè)任意的x₁，x₂∈D，作差比較f（x₁）-g（x₁）與f（x₂）-g（x₂）的大小關(guān)系，需利用上f（x），g（x）在D上的單調(diào)性，從而證出f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），便得出f（x）-g（x）為增函數(shù)．

解答 解：f（x）-g（x）為增函數(shù)，f（x）+g（x）不一定為增函數(shù)，比如f（x）=x，g（x）=-x；
證明f（x）-g（x）為增函數(shù)：設(shè)x₁，x₂∈D，且x₁＜x₂，則：
∵f（x）在D上為增函數(shù)，g（x）在D上為減函數(shù)；
∴f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂）；
設(shè)F（x）=f（x）-g（x），則：
F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-g（x₁）-f（x₂）+g（x₂）=[f（x₁）-f（x₂）]+[g（x₂）-g（x₁）]＜0；
∴F（x₁）＜F（x₂）；
∴F（x）在D上為增函數(shù)；
即f（x）-g（x）在D上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查增函數(shù)、減函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差比較F（x₁）與F（x₂）大小的方法，以及增函數(shù)和減函數(shù)定義的運(yùn)用．