Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）滿足約束條件，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)A（3，4），則向量在向量上的投影的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，利用向量的數(shù)量積將投影||•cos∠AOP轉(zhuǎn)化成 ，設(shè)z=3x+4y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=3x+4y過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，從而得到||•cos∠AOP的最值即可．
解答：解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于||•cos∠AOP=
=，而 =（3，4），=（x，y），OA的長度為5
所以||•cos∠AOP=，
令z=3x+4y，即z表示直線y=-x+z在y軸上的截距，
由圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)B時(shí)，z取到最小值，
由B（1，0），這時(shí)z=3，
所以||•cos∠AOP=，
故||•cos∠AOP的最小值等于 ．
由圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)C時(shí)，z取到最大值，
由C（2，1），這時(shí)z=10，
所以||•cos∠AOP=2，
故||•cos∠AOP的最大值等于2．
故答案為：[，2]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．巧妙識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．