Question

16．設(shè)0≤x≤2，求函數(shù)y=9${\;}^{（x-\frac{1}{2}）}$-3^（x+1）+$\frac{31}{4}$的最大值、最小值，并求取得最值時(shí)的x的值．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得y=9^（x-^{$\frac{1}{2}$）}-3^（x+1）+$\frac{31}{4}$=$\frac{1}{3}$（3^x-$\frac{9}{2}$）²+1，從而求函數(shù)的最值．

解答 解：y=9^（x-^{$\frac{1}{2}$）}-3^（x+1）+$\frac{31}{4}$
=$\frac{1}{3}$（3^x）²-3•3^x+$\frac{31}{4}$
=$\frac{1}{3}$（3^x-$\frac{9}{2}$）²-$\frac{1}{3}$•$\frac{81}{4}$+$\frac{31}{4}$
=$\frac{1}{3}$（3^x-$\frac{9}{2}$）²+1，
∵0≤x≤2，∴1≤3^x≤9，
∴當(dāng)3^x=$\frac{9}{2}$，即x=2-log₃2時(shí)，
y有最小值為1；
當(dāng)3^x=9，即x=2時(shí)，
y有最大值為$\frac{31}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了配方法求函數(shù)的最值的方法與應(yīng)用，同時(shí)考查了指數(shù)的運(yùn)算．