Question

8．一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的側面積是$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，所以球心是底面三角形的中心，球的半徑，就是三棱錐的高，再求底面面積，即可求解三棱錐的側面積．

解答 解：正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，
其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，
所以球心是底面三角形的中心，球的半徑，就是三棱錐的高，
球的半徑為1，所以底面三角形的邊長為a，$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=1，a=$\sqrt{3}$，
三棱錐的斜率h=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以該正三棱錐的側面積S=3×$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題考查棱錐的側面積的求法，考查棱錐的外接球的問題，考查空間想象能力，是中檔題．