Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分別是線(xiàn)段PA、CD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；

（Ⅲ）求異面直線(xiàn)EF與BD所成的角β的余弦．

 

 

Answer 1

（1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以為平面PAD與平面ABCD所成二面角的平面角．

由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD；（2）所求的角α的正切值為；（3）異面直線(xiàn)EF與BD所成角β的余弦值為．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD；（2）連接AF，則即為α，在直角三角形EAF中，根據(jù)計(jì)算求得結(jié)果即可；（3））欲求異面直線(xiàn)EF與BD所成的角β的大小，只需平移兩條異面直線(xiàn)中的一條，使它們成為相交直線(xiàn)，則相交直線(xiàn)所成的銳角或直角，就是異面直線(xiàn)所成角，再放入三角形中，通過(guò)解三角形，求出此角．

試題解析：（1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以為平面PAD與平面ABCD所成二面角的平面角．

由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．

（2）連接AF，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則AF是EF在平面ABCD上的射影，即=α．設(shè)PA=AD=a，F(xiàn)D=，則．在中，，所以所求的角的正切值為．

（3）取BC的中點(diǎn)M，連接EM、FM，則FM∥BD，∴∠EFM（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)EF與BD所成的角．

可求得，同理，，又，

∴在△MFE中，，

故異面直線(xiàn)EF與BD所成角β的余弦值為．

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角；直線(xiàn)與平面平行、垂直的判定；直線(xiàn)與平面所成的角．